Mosaicos de Penrose y otras Teselaciones del Plano

Cubrir una superficie plana con piezas pequeñas es una actividad habitual realizada por motivos estructurales o estéticos. Las piezas que se utilizan para ello se llaman teselas: copias de uno o varios moldes llamados prototeselas. Los mosaicos resultantes pueden ser periódicos, si una región se repite indefinidamente, o aperiódicos en caso contrario.

Los mosaicos generan interesantes problemas geométricos. Uno de ellos, del que nos ocuparemos en esta conferencia, es el llamado Problema del Dominó: si disponemos de un conjunto de prototeselas determinado, ¿cómo podemos saber si podremos cubrir el plano totalmente con copias de las mismas?

La investigación de este asunto tuvo resultados sorprendentes en los años 60 y 70: hay conjuntos de prototeselas (algunos de ellos propuestos por el Prof. Roger Penrose) que sólo generan mosaicos aperiódicos. Además, con posterioridad se vio que estas estructuras no eran una simple curiosidad matemática ya que ciertos materiales (los llamados cuasicristales) se organizaban de la misma manera.

Mosaico de Penrose (fuente: Wikipedia)

Tertulia de Matemáticas, Septiembre 22, 2009

Visión Panorámica de las Ramas de la Matemática

Las Matemáticas tienen muchos elementos comunes con un juego de estrategia, por ejemplo con el ajedrez. En éste contamos con un conjunto de objetos (jugadores, piezas y tablero), con unas reglas (relaciones entre objetos), con algunas definiciones (de las piezas, enroque, gambito,...) y con un objetivo que varía entre sobrevivir y vencer.

En esta conferencia presentaremos los elementos comunes con los juegos que parecen intervenir en la actividad matemática, y su relación con el concepto de conjunto. Este concepto -como el de estructura o categoría- es la base de una de las formas de construir las Matemáticas.

Tanto si hablamos de Geometría como de Cálculo o Topología, todo parece empezar con la selección de ciertos objetos y de relaciones entre los mismos que se organizan en conjuntos, y de algunas definiciones relevantes. A partir de aquí, la aplicación de la Lógica extrae conclusiones aparentemente incontrovertibles llamadas teoremas. Además, tanto la Lógica como la Teoría de Conjuntos son ellas mismas objetos matemáticos que se someten al tratamiento anterior, haciendo de las Matemáticas un gigantesco objeto autorreferente.

Tertulia de Matemáticas, Marzo 24, 2009

Tertulia de Matemáticas

SOBRE LAS MATEMÁTICAS

Desde los tiempos de las antiguas civilizaciones en Egipto, Mesopotamia, Grecia o Mesoamérica hasta nuestros días, las Matemáticas han estado siempre en la base de la Ciencia, la Tecnología y la Filosofía.
Es previsible además que su importancia crezca en el futuro, dadas las tendencias que apuntan a la presencia de la Ciencia y la Tecnología en cada vez más ámbitos.
Esta importancia no se corresponde sin embargo con la visión que se tiene de las Matemáticas a nivel popular, donde son consideradas difíciles, misteriosas e incomprensibles.
Parece pues una buena idea establecer canales de divulgación apropiados para que la sociedad pueda conocer mejor una disciplina de la que tanto depende.

SOBRE LA TERTULIA

La Tertulia de Matemáticas quiere ser uno de estos canales de divulgación. Fundada en el año 2009 en Madrid por un grupo de personas amantes de las Matemáticas (ingenieros, artistas, lingüistas e informáticos entre otros), la Tertulia ha organizado conferencias y debates, y está abierta a todos las personas interesadas por la disciplina.
La Tertulia se convoca generalmente una vez al mes con un tema concreto, tiene una duración de dos horas y se compone de dos partes: una conferencia (o una discusión de un problema sobre el tema) y un debate abierto.
Desde el principio, el propósito de la Tertulia ha sido explorar las Matemáticas y darlas a conocer desde varios puntos de vista: sus distintas ramas, sus aspectos lúdicos, sus problemas destacados, su historia, su filosofía y el misterio de su universalidad (es decir, su aplicabilidad a tantos ámbitos de la actividad humana). Todo ello con abundante material multimedia y en un ambiente cordial y distendido, propicio para fomentar el interés por la materia.

SOBRE LA CREATIVIDAD EN MATEMÁTICAS

Otra de las características de la Tertulia es la importancia que se concede a la creación matemática, fuente tanto de conceptos originales como de soluciones novedosas a los problemas. Jacques Hadamard analizó el proceso creativo en su The Psychology of Invention in the Mathematical Field y lo dividió en 4 fases: preparación, incubación, iluminación y verificación. La tercera fase, que correspondería al ¡ajá! de Martin Gardner y a nuestra idea feliz, reviste un interés especial aquí.
Con creatividad Newton y Leibniz concibieron el Cálculo, Fourier el Análisis Armónico, Galois la Teoría de Grupos, Euclides (y quizá otros antes que él) el Método Axiomático, Hamilton los cuaternios, Georg Cantor la Teoría de Conjuntos, y así un largo etcétera de matemáticos y descubrimientos. Algunos conceptos matemáticos son muy antiguos (números naturales, operaciones aritméticas, la medida,...) y sus descubridores desconocidos; otros, como los objetos topológicos, son más recientes y su evolución más conocida (Leibniz, Euler, Gauss, Poincaré...).
¿Cuál es la idea feliz que originó los Espacios Vectoriales? ¿Y la de las series infinitas? Delante ya de un problema concreto, ¿cómo podemos abordarlo de una manera ingeniosa y original? Éstas y parecidas cuestiones tienen prioridad en esta Tertulia, porque valoramos ese máximo de potencia creativa en el que se unen singularmente Matemáticas, Arte y Poesía.

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